Hipótese de Ritz em Elementos Finitos

Atualizado: Fev 21

Fala pessoal! Hoje vamos falar mais uma vez sobre cálculo estrutural! Recomendamos que leiam anteriormente a postagem sobre A Importância da Teoria do Método dos Elementos Finitos e a postagem que descreve a diferença entre o Problema Estrutural Estático e o Dinâmico.


Primeiramente, sabendo que graus de liberdade (GDL) é o número de componentes de deslocamento que são necessários para localizar todas as massas constituintes do sistema, no problema vibratório o nó passa a ser um GDL dinâmico e, não só isso, passa a ser também um GDL mássico.


Da mesma forma que as forças de superfície (pressão) eram distribuídas nos nós, de forma equivalente, haverá também uma força inercial transformada em carga nodal. Igualmente para a massa, dependendo do contexto, surgindo conceitos como massa concentrada, distribuída ou consistente.


Assim, agora o nó possuindo massa, é sujeito também a acelerações. Igualmente ao que ocorria no problema estático, utiliza-se de uma matriz de forma [N(x)] que define os campos de deslocamento e agora de aceleração que serão interpolados para o elemento naquela condição de contorno, ou seja, a forma pela qual o deslocamento e a aceleração serão transmitidos para o elemento.

Conclui-se então que o grau de liberdade está sujeito à rigidez da estrutura em uma dada direção, à massa empacotada dela e ao mecanismo de dissipação de energia no ponto analisado. Ainda, está sujeito à carga nodal. Com isso tudo, pode-se adotar um sistema em forma de modelagem que representa (juridicamente) o que acontece com a estrutura.


A figura a seguir não é de um massa-mola-amortecedor.

Figura 1: Figura que não é de um massa-mola-amortecedor


Novamente, a figura acima não é de um massa-mola-amortecedor.


A título de ilustração, um nó como massa-mola equivalente pode ser entendido facilmente com a utilização de uma viga engastada sob ação de carga concentrada como exemplo.

Equacionando o modelo da Figura 1 para um sistema de múltiplos graus de liberdade tem-se a seguinte formulação matemática:

Importante destacar que a equação acima apenas representa o caso estrutural quando utilizado o amortecimento de Rayleigh ou amortecimento proporcional, que utiliza as matrizes de rigidez e massa para formar a matriz. Diferentemente da modelagem feita para a suspensão, por exemplo, o amortecimento é função da frequência, não é viscoso, apesar de ser considerado como aproximadamente viscoso, ocorrendo pela histerese do material e pelo movimento de juntas, o que dificulta a incorporação desses fenômenos ainda pouco compreendidos na formulação matemática.


Para análises lineares, a solução é proposta pela Hipótese de Ritz e Superposição Modal, as chaves da resposta dinâmica. Utilizando esse método, há o desacoplamento das equações.


De início, pela análise modal, ficam conhecidos os modos de vibrar e suas frequências naturais. O que indica como será a resposta frente o carregamento dinâmico agente, refletindo o próprio comportamento dinâmico da estrutura.

Em seguida, para cada modo é definido um fator de participação, obtidos pelo intermédio do desacoplamento das equações de equilíbrio e com o princípio da ortogonalidade. Cada modo de vibrar é reduzido, de forma desacoplada, para um sistema de 1 grau de liberdade, generalizando o sistema.

Então, por fim, a resposta é definida por superposição, a combinação linear dos modos em produto com um fator de peso.

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